См. в учебнике В. В. Свинцова «Справочник по пунктуации» на портале.
Правильно: Нестор Летописец. Слово летописец здесь, хоть и сохраняет свое прямое значение, входит в состав имени собственного и пишется с прописной. Ср.: Максим Грек, Николай Чудотворец, Феофан Исповедник и др. См. подробнее в «Русском правописании с комментариями».
Судя по всему (хотя предложение не приведено полностью), в данном случае есть три однородных члена предложения, перед каждым из которых, кроме первого, повторяется союз или. Если это так, то корректно следующее пунктуационное оформление: ...аттестат об основном общем образовании, или аттестат о среднем общем образовании и приложение к нему, или справку об обучении из организации. Сравним пример из параграфа 13.6 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя: Иные хозяева вырастили уже вишни, или сирень, или жасмин (Ф.).
Это устойчивый оборот. В нем прилагательное употреблено в своем словарном значении 'главный, основной; наиболее важный, значимый'.
Первый вариант лучше.
Следует либо использовать внутренние кавычки другого рисунка ("лапки"), либо отказаться от сдвоенных закрывающих кавычек.
