Правильно: в квартале (и о четвертой части года, и о районе города).
Ваше замечание справедливо: в газете ошибка. Ондатра – существительное женского рода, правильно: ондатр.
Названия республик мужского рода несклоняемы в функции приложения. Верно: из Республики Маврикий.
У наречий окончаний нет, так наречия не выражают значение рода, числа, падежа.
ДНК – существительное женского рода (по стержневому слову кислота). Верно: была найдена ДНК.
Слово урбеч склоняется как существительное мужского рода: вкус урбеча, салат с урбечем.
Звезда – существительное женского рода (даже если речь идет о мужчине): поп-звезда выступила.
Форма деепричастия глагола обжечься – обжёгшись, например: обжёгшись на молоке, дует на воду.
До 1 октября 2014 года использовалось дефисное написание. Сейчас остался только ТАСС.
Сочетание совершенного и несовершенного вида корректно. Неудачно использование предлога НА (на варианте).