Написание сложносокращенных названий, типа Внешэкономбанк, зависит от того, государственную или коммерческую организацию называет данное слово. Не заключаются в кавычки названия государственных учреждений. Соответственно, если Транскапиталбанк – это госучреждение, то кавычки не ставятся, если же коммерческая организация, то кавычки нужны.

Другие приведенные Вами названия не являются сложносокращенными, поэтому на них данное правило не распространяется. Они заключаются в кавычки, если представляют собой условные наименования. Подробнее об этом можно прочитать в «Письмовнике». Заключать в кавычки приведенные названия банков нужно только при указании организационно-правовой формы:  Московский индустриальный банк, но ООО  «Московский индустриальный банк».

В лингвистических источниках обсуждаемая синтаксическая конструкция действительно квалифицируется двояким образом. В академической «Русской грамматике» (1980) читаем: «К приложениям относятся все определения — названия лица собственным именем: девочка Оля, мальчик Петя, тетя Катя, дядя Ваня, собака Шарик, боец Дорофеенко, моя соседка Петренко». В разных изданиях школьных учебников по русскому языку, подготовленных при участии В. В. Бабайцевой, находим иное объяснение: «При сочетании нарицательных и собственных имен существительных приложением является нарицательное существительное, если имя собственное называет лицо: Врач Петрова пришла». Очевидно, что при решении школьных задач необходимо руководствоваться определением того учебника, по которому работает педагог и учатся его подопечные. Научные цели предполагают знание проблематики вопроса, о которой, в частности, пишет В. П. Москвин в недавно опубликованной статье «К уточнению понятия „​​​​​​​приложение“ в русской грамматике» (Известия Волгоградского государственного социально-педагогического университета. Филологические науки. 2025. № 2).

Сочетание зеленные овощи используется в специальных текстах сельскохозяйственной тематики, встречается в заголовках книг (например, Муханова Ю. И. Зеленные овощи. Москва: Моск. рабочий, 1975). Прилагательное зеленной образуется от слова зелень с помощью суффикса -н-, оно означает 'относящийся к зелени' и фиксируется лингвистическими словарями. 

«Словарь собственных имен русского языка» рекомендует использовать название в несклоняемой форме.

Верно: Награждается Иванов Иван Иванович, водитель предприятия Х (город У), за многолетний добросовестный труд. Директор предприятия Х Петров Петр Петрович (точка после подписи не требуется).

Можно использовать описательный оборот: способы париться.

Корректно такое оформление прямой речи: Ковалев отказался: «Нет, отец, жарко, будем пить воду» – и добавил: «Надо охладить себя, а им устроить баню».

Думаем, что так сказать нельзя.

Все верно, дополнительные знаки препинания не требуются.