Оба знака корректны, но различаются по смыслу. Если автор намерен установить сопоставительные (противительные) отношения между частями бессоюзного сложного предложения (такие отношения выражаются союзами а или но), требуется тире: Ушла война — осталась память. Если автор намерен установить между ними отношения перечисления, допускающие расширение ряда (что уместно отметить многоточием), ставится запятая: Ушла война, осталась память...
Это предложение следует рассматривать как бессоюзное сложное, где вторая часть имеет значение причины, обоснования. По общему правилу перед второй частью в таком случае ставится двоеточие. Однако здесь вполне возможно и тире.
Запятая не нужна, верен первый вариант.
Если это инфинитив, то верно: торопиться. Если это форма третьего лица, то верно: торопится.
Наречное выражение в первую очередь не требует обособления знаками препинания.
Запятая нужна: Я знаю, чем дорожу.
