Предпочтителен такой вариант: Появилась еще одна, психологическая проблема.

Нет, названия месяцев и времен года – нарицательные существительные. Правильно: ползимы (но: пол-осени), полфевраля (но: пол-января). Написание этих слов подчиняется общим правилам написания слов с пол-.

Лучше перестроить предложение, например: Семья задает себе вопрос, станет ли их ребенок таким, когда подрастет.

В русском языке порядок слов свободный, в предложении нет строго закрепленного места за тем или иным его членом. Некоторые закономерности есть, о них можно прочитать, например, в разделе «Порядок слов в предложении» «Справочника по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя.

Следует употребить форму множественного числа, так как здесь несколько подлежащих (несколько объектов: показатель, индекс и параметр): Определены показатель 1, индекс 2, параметр 3.

Слово опубликование существует и зафиксировано в словарях. В приведенном примере его можно использовать наравне со словом публикация.

Сочетание можно заниматься множеством видов активного отдыха неудачно. 

При существительных мужского и среднего рода, зависящих от числительных два, три, четыре, определение, находящееся между числительным и существительным, в современном языке ставится, как правило, в форме родительного падежа множественного числа. Если определение (обычно обособленное) стоит после счетного оборота, то чаще оно ставится в форме именительного падежа множественного числа.

Таким образом, верно: ...реализуются четыре приоритетных проекта, охватывающие все уровни образования.

Такое слово можно придумать и можно понять. В этом смысле оно существует. Но это не слово литературного языка.

Ланфрен-ланфра – просто рефрен, ничего не значащий и не имеющий перевода. Слова сорвён нет ни в русском языке, ни в песне. В песне есть слово сорвём: Мы лёгкий сон, ланфрен-ланфра, сорвём с тяжёлой ветки...