Особо такая ситуация в правилах не описывается, формально в предложении две грамматические основы, объединяющих компонентов нет, поэтому запятая нужна. 

Правилен первый вариант.

Деепричастный оборот, стоящий после сочинительного или подчинительного союза либо союзного слова, отделяется от него запятой (такой оборот можно «оторвать» от союза и переставить в другое место предложения). Ср.: Жизнь устроена так дьявольски, что, не умея ненавидеть, невозможно искренне любить (М. Г.).

Между главным предложением и придаточным, присоединяемым союзом потому что, нужно только одна запятая – либо перед союзом (перед словом потому), либо между его частями (перед словом что). Союз расчленяется, если на первую его часть падает логическое ударение.

Возможны обе фамилии - и Грей, и Грэй.

Нет, это не то же самое. 

Во-первых: в этом предложении сущ. труд входит в состав количественно-именного словосочетания сколько труда, только этим объясняется форма Р. п.; количественно-именные словосочетания практически всегда являются одним членом предложения. Поэтому, следуя вашей логике, сказуемым нужно было бы признать вложили сколько труда.

Во-вторых: замена, которую вы предлагаете, не является эквивалентной (в отличие от примеров эквивалентных замен, которые вы приводите). Вложить труд, вложить много труда отнюдь не равнозначно глаголу трудиться — в особенности если учесть, что и вид другой: в первом случае совершенный, во втором — несовершенный. В примерах одержать победу, принять участие собственно глагол выступает в выхолощенном значении, практически утратившем связь с прямыми номинативными значениями тех же глаголов (причем глагол одержать в своем исходном прямом значении в современном русском языке вообще не употребляется, он утрачен), а в выражениях вложить душу, вложить труд связь значения глагола с его основным значением, как и образный перенос, очевидна.

В-третьих: можно вложить много труда, можно вложить много сил, можно вложить душу — какими глаголами можно заменить два последних сочетания? Никакими. И в том числе потому, что глагол вложить в этих выражениях имеет хоть и особое, но отнюдь не выхолощенное лексическое значение. И кстати, существительное в сочетаниях, которые иногда называют аналитическими глаголами, должно быть отглагольным именем действия (что и наблюдается в ваших примерах), но труд таковым не является: не оно образовано от глагола трудиться, а наоборот.

Дело здесь в том, что глагол вложить (как и его видовая пара вкладывать) в таких выражениях используется не в  одном из своих основных значений (посмотрите в словарях — например, в МАСе), а в особом, фразеологически связанном и конструктивно обусловленном значении, поэтому образец вложить душу подается в словарных статьях отдельно, после основных значений, и толкуется тоже отдельно. Вы ощущаете, что вложить много труда и вложить письмо в конверт — конструкции, существенно различные по степени спаянности компонентов, поэтому вам кажется, что сколько труда нельзя отрывать от вложили. Тем не менее, несмотря на эти различия, глагол в этом предложении остается сказуемым, а сколько труда является дополнением. По той простой причине, что фразеологизмом это выражение не является (наличие фразеологически связанного значения не равносильно наличию фразеологизма!), аналитическим глаголом типа одержать победу — тоже.

Спасибо за Ваше сообщение.

При подлежащем, выраженном количественно-именным сочетанием, обозначающим неопределенное множество (как в случае много людей/парней/девушек), сказуемое может стоять как в форме единственного числа (грамматическое согласование), так и в форме множественного числа (согласование по смыслу). Согласование по смыслу — более новый вариант нормы. 

В значении "заявление с указанием на потребность в чём-л., требование на получение чего-л." правильно: заявка на что-либо.