Возможны оба варианта. Существительное следует поставить во множественное число, если есть намерение или необходимость подчеркнуть, что речь идет не об одном, а о нескольких предметах, понятиях, событиях. Единственное число предпочтительно, если более важна идея единства, внутренней связи. Подробнее об этом можно прочитать, например, в справочнике Ю. А. Бельчикова «Практическая стилистика современного русского языка» (М., 2012).

Дело здесь не в «расшаркивании перед англосаксами», а в том, что словам Весна и Труд в названии праздника приписывается особый высокий смысл. Праздник новый, но модель старая, ср.: с праздником Великого Октября! А написание строчными уместно в тех контекстах, где речь идет не о празднике 1 Мая: праздник весны (о встрече весны), праздник труда (о субботнике).

Все три выражения являются правильными. Отметим отличия, на которые и Вы обратили внимание. Оборот с предлогом по используется в качестве официального наименования территориального подразделения УМВД, а следовательно, предпочтителен в текстах, где важна номинативная точность. В двух других случаях сфера употребления оборотов намного шире, не стандартизирована, выбор конструкций может диктоваться смысловыми особенностями высказываний и стилистическими свойствами текстов.

Оборот сдержать слезы достаточно распространен. Сочетание остановить слезы, хоть и реже, но все же встречается в классической литературе: И внезапно каким-то необыкновенным усилием воли Женька так же неожиданно, как расплакалась, так и остановила слезы (А. И. Куприн. Яма),  «Нет, нет, я всё сделаю, ― сказала она, вдруг остановив слезы, ― я так счастлива!» (Л. Н. Толстой. Война и мир).

Склонение зависит от того, какую форму имеет мужская фамилия. 

Если мужская фамилия Долгий, а женская Долгая, фамилия склоняется как прилагательное: Ирина Долгая, Ирины Долгой, Ирине Долгой, Ирину Долгую, Ириной Долгой, об Ирине Долгой.

Если мужская фамилия Долгая, то фамилия (мужская и женская) склоняется как существительное (по образцу имени Рая): Долгая, Долгаи, Долгае, Долгаю, Долгаей, о Долгае.

Варианты различаются по значению. Во дворе употребляется в прямом значении: на участке земли при доме, огороженном забором или стенами зданий, например: посадить елку во дворе, дети играют во дворе, ср. также А у нас во дворе есть девчонка одна... (Ошанин).

На дворе – о наличии какой-либо погоды, времени суток или года: на дворе мороз, ночь на дворе, на дворе уже весна.

Грамматически верное сочетание: не верьте в трех человек. Однако данное предложение составлено некорректно, его следует перестроить, например: Никогда не верьте людям трех знаков зодиака: Стрельцам, Овнам, Рыбам.

Оснований для прописной буквы нет: купить свиток здоровья, надеть штаны странника.

Двоеточие в бессоюзном сложном предложении, распадающемся на две части, ставится, если вторая часть представляет собой прямой вопрос, как в Вашем случае.