Оба слова (вернее, оба словообразовательных варианта) существуют: увековечение и увековечивание. Выбор за Вами.
В этом значении правильно: штатовские.
Предпочтительна форма мной. Вариант мною считается устаревшим.
Оба варианта возможны.
По-русски правильно: гривна (в том числе в значении''денежная единица Украины'). См., например: Толково-энциклопедический словарь. СПб.: Норинт, 2006.
Провести квиз — несогласованное определение, образующее вместе с существительным словосочетание: идея (какая?) провести квиз. Соответственно, знаки препинания в предложении не требуются. Пунктуационное оформление несогласованных определений, выраженных инфинитивом, описано в параграфе 60 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Понятно, что маневры автомобилей бывают разными, в частности заезд на круг, движение по кругу и на круге, выезд с круга. Что подразумевает упомянутая Вами фраза, не вполне ясно.
