Вообще говоря, деепричастные обороты обычно и являются обстоятельствами, обозначая "дополнительное действие"; в этом состоит их синтаксическая функция. Как правило, деепричастия с наречным значением можно заменить на наречия или существительные, ср.: поезд шел не останавливаясь - поезд шел без остановки. В рассматриваемом примере деепричастие легко заменяется глаголом: ...можно, если вцепиться...

Правильны оба варианта – с предлогом и без предлога. В «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой это выражение фиксируется следующим образом: (в) последнее время. Предлог в заключен в скобки, что указывает на его факультативность (необязательность) в этом сочетании. Так что Вас напрасно обвинили в безграмотности.

Полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» (М., 2006) указывает, что названия видов и сортов сельскохозяйственных культур, овощей, цветов и т. п. – термины агрономии и садоводства – выделяются кавычками и  пишутся со строчной буквы. Корректно: сорт «карусель». В специальной литературе возможно написание с прописной буквы без кавычек: сорт Карусель.

Действительно, интеграция метрополитена и железной дороги породила орфографическую проблему. Была дана рекомендация о написании, которая на тот момент представлялась оптимальной. В каких-либо документах она не была закреплена. Придерживаются ли ее в транспортных организациях, нам неизвестно, но в общей письменной практике название станций МЦД закрепляется все же без кавычек.

Корректно написание через дефис по правилу о сочетаниях с однословными приложениями, предшествующими определяемому слову, ср.: старик-отец, красавица-дочка, умница-сын, герой-лётчик, мудрец-писатель, проказница-мартышка, самодурка-мачеха, трудяга-следователь, профан-редактор, пройдоха-управляющий. Такие приложения носят оценочный характер. Однако заметим, что в некоторых руководствах по правописанию рекомендуется писать подобные сочетания без дефиса. Эта рекомендация является устаревшей. 

Запятые не нужны. У оборота как в кофейне на первое место выступает значение образа действия, и инфинитив приготовить, к которому относится оборот, не имеет законченного смысла без сравнительного оборота: смысл предложения не в том, что напиток можно легко приготовить, а в том, что легко приготовить можно напиток высокого качества.

Написание через дефис можно объяснить стремлением показать фразеологизированность оборота. Однако его написание не закреплено в орфографических источниках, а в употреблении он чаще встречается без дефисов. И это, на наш взгляд, более удачная форма. Возможно и буквальное прочтение оборота и, соответственно, такая пунктуация: Эх, мама, не горюй, не горюй...

Названия племен, народов пишутся без кавычек и со строчной буквы, приведем несколько примеров из академического «Русского орфографического словаря»: апачи, гунны, дауры, манси, маори, мещера, мурома, словене, тонга. Так же пишутся и названия, состоящие из двух частей, см., например, статью мяо в «Большой российской энциклопедии».  

Вы правы, корректно слитное написание. С существительными, прилагательными, наречиями на -о не пишется слитно, если слово с не можно заменить близким по значению словом без не (в данном случае, как Вы верно указываете, – простой, обыденной). Такая возможность как раз и говорит о том, что не – приставка, образующая особое слово.

Нам известно об этом противоречии в справочниках. Для того чтобы решить, какой вариант правила признать отражающим норму сегодняшнего дня, необходимы исследования. На данный момент можно лишь сказать, что нельзя считать ошибкой как наличие, так и отсутствие запятой в сложносочиненном предложении, состоящем из двух безличных частей без синонимичных слов.