Правильно: для болеющих. Слово болящий имеет народно-разговорную или шутливую окраску.

Слово протяжный имеет значение ‘длительно звучащий’. Возможно сочетание протяжный вздох, сочетание протяжный вдох некорректно.

Здесь простое глагольное сказуемое — ходил. Смотреть является обстоятельством цели.

В относительных прилагательных, образованных от существительных с основой на к, используется суффикс -к-, если согласный к в конце производящей основы чередуется с ц: бедняк — бедняцкий, моряк — моряцкий, Москва-река — москворецкий и т. п. При отсутствии такого чередования пишется суффикс -ск-: Владивосток — владивостокский, Нью-Йорк — нью-йоркский, Ирак — иракский и т. п.

По основному правилу инициальные аббревиатуры (то есть составленные из начальных букв слов), включающие только согласные буквы или включающие гласную букву в начале или конце, читаются по алфавитным названиям букв, поэтому верно: [о-эс-дэ]. При произношении некоторых аббревиатур закрепились разговорные названия букв: [нэ] вместо [эн], [сэ] вместо [эc], [фэ] вместо [эф] и т. д., ср. произношение [сэ-шэ-а], [фэ-бэ-эр] и др. Нормативным такое произношение признается в случае устойчивого употребления аббревиатуры в соответствующей фонетической форме. То, что сериал американский, к произношению аббревиатуры, составленной из частей русских слов, не имеет отношения.

Компонент полу- не считается приставкой, а определяется как первая часть сложного слова. В сложных словах формы причастий и прилагательных пишутся так же, как в отдельном (не в составе сложного слова) употреблении.

Да, здесь выделяется суффикс -й. Это суффикс основы настоящего (простого будущего) времени, от которой образуется повелительное наклонение.

В современном русском языке деепричастие не имеет категории времени. Деепричастия типа прыгав не соответствуют норме литературного языка.

Оба варианта соответствуют норме.

Мы не выполняем домашние задания.