Да, здесь верно: ни увеличивался.

Судя по контексту, здесь сочетание не знай..., не знай... употреблено в роли разделительного союза (в каких-либо источниках, в том числе в «Словаре русских народных говоров», этот союз не удалось найти), синонимичного союзу то ли..., то ли.... После союза не требуются какие-либо знаки препинания. Что касается вводного слова оказывается, то оно не образует единого сочетания с союзом а (его изъятие возможно без нарушения структуры предложения, сравним: ...а по паспорту она Клавдия). Таким образом, верно: Она с сыном живет. Капитолина Самарина. Хотя не знай Капитолина, не знай Клавдия. Мы все ее Капитолиной звали, а, оказывается, по паспорту она Клавдия.

Полагаем, эти несколько предложений лучше оформить в отдельный абзац:

— Благодарю вас, — проговорила она своим мягким голосом.
*Еще что-то про ее описание, например, 2–3 предложения или даже больше*.
Затем она подняла глаза и добавила:
— Меня зовут Анна.

Обратите внимание, что при передаче устной речи персонажей местоимение вы, даже обращенное к одному лицу, принято писать со строчной буквы.

Прилагательное Чебаркульский здесь действительно начинается с прописной буквы, но не потому, что оно образовано от названия города, а потому, что это первое слово в названии организации.

Если принять во внимание внутреннюю форму слов, то рассуждать можно так: назвать (образовано от глагола звать) предполагает именование, тогда как глагол обозначить (восходит к слову знак) указывает на то, что нечто может выступать в качестве знака.

Тавтологии здесь нет.

Частица вроде не выделяется запятыми.

Запятая не нужна.

Вы привели разные по сути примеры. В предложении Мы писали сочинение на тему «Как я провёл лето» слово тема обозначает и заголовок сочинения, поэтому формулировка темы заключается в кавычки (обратите внимание, что двоеточие здесь не нужно, «Как я провёл лето» — это приложение к существительному тема). В предложении Автор ставит проблему: какой опыт приобретает молодой человек, служа в армии? формулировка проблемы не требует заключения в кавычки, если это не дословная цитата из анализируемого текста.

Сочетание как родной обособляется потому, что это сравнительный оборот.