Знаки препинания расставлены верно. Это предложение с прямой речью.
Да, все верно.
Запятая нужна.
Запятая стоит верно.
Провести квиз — несогласованное определение, образующее вместе с существительным словосочетание: идея (какая?) провести квиз. Соответственно, знаки препинания в предложении не требуются. Пунктуационное оформление несогласованных определений, выраженных инфинитивом, описано в параграфе 60 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Вопрос задан неверно. Корректно: Тебе понравилось Чили? Тебе понравилась Чили? Имя собственное Чили может употребляться как существительное среднего рода и как существительное женского рода.
Запятая нужна, однако предложение построено не вполне корректно. Верно: Только начав с себя, мы покажем пример другим.
Запятая перед и нужна.
Указанная запятая ставится между частями сложного предложения.