Обстоятельством, если это наречие (оживлённо жестикулировать); сказуемым, если это краткое прилагательное (движение на дорогах оживлённо).

Наречие или краткое прилагательное.

Это частица или наречие. Обособление не требуется.

Наречие сплеча пишется слитно: рубить сплеча.

Это местоименное наречие, неизменяемое слово. Соответственно, это и есть начальная форма, она же единственная.

Контекст странен. Наречие свысока пишется слитно, но значение наречия – 'надменно, высокомерно, с презрением'. Здесь же, очевидно, имеется в виду «с высоты, с вышины». Но в отличие, например, от слова далеко, которое может употребляться  в значении существительного (Русь! вижу тебя, из моего чудного, прекрасного далека тебя вижу), высоко выступает только в роли наречия или предикатива. Поэтому ответить на Ваш вопрос можно следующим образом: если надо как-то записать эту конструкцию, то так: с высока, но конструкция сама по себе неправильна, следовало бы сказать по-другому (с высоты, с вышины).

Наречие не скоро пишется с частицей не раздельно.

Верное написание: в сборе. Пишем как существительное с предлогом.

Наличие зависимых слов влияет на написание НЕ с причастиями, но не с прилагательными. Слитное написание в данном случае корректно.

Это наречие. Но и "след" существительного тоже есть, ср.: Холодной ночью...