Правильно: Открытый кубок Москвы.
В названиях улиц, площадей, проспектов и т. п. с прописной буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (т. е. самих слов улица, проспект, площадь и т. п.) и слов года, лет. Что касается названий микрорайнов и пр., здесь действует такое правило: в составных географических названиях с прописной буквы пишутся слова, которые употребляются не в своем обычном значении. Правильно: улица Теплый Ключ, микрорайон Теплый Ключ (т. к. это не ключ, а район).
Нужно лишь в том случае, если это собственное наименование.
Искра божья (в ком, у кого) пишется со строчной.
Правильно со строчной буквы.
Следует писать строчными буквами. Подробный ответ см. здесь: 245322">http://www.gramota.ru/spravka/buro/29245322
Верно: Московское море.
Правильно: Отдел внешних церковных связей Московского патриархата.
