Обе формы родительного падежа имеют право на существование в подобных конструкциях.
Верно: час че.
Допустимы оба варианта: попить чая, попить чаю. Второй вариант более употребим в разговорной речи.
Допустимо: выпить чая, выпить чаю, выпить (весь) чай. Вариант выпить чаю более употребим в разговорной речи.