Правильно: Древний Рим (государство) и древний Рим (город).
Склоняется первое слово: к утреннему часу пик.
Можно использовать обе формы сказуемого.
Аббревиатурные названия марок автомобилей в кавычки не заключаются. Правильно: ГАЗ, ЗИМ, ЗИЛ. Буква И тоже должна быть прописная.
Сокращение без точек эт/пом не нарушает правил написания графических сокращений. Об отсуствии точек см. полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» под. ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), § 210.
Правильно.
Верно написание с пробелами: Ким Ю Чен.
Да, фамилия склоняется.
Лучше использовать кавычки разного рисунка. Предпочтительно: Некоммерческая организация «ПИК "Строим вместе"». Допустимо: Некоммерческая организация "ПИК "Строим вместе".
Пишется без кавычек, со строчной: число пи. Однако в специальной литературе на месте "пи" будет соответствующая буква греческого алфавита.