Не хватить, не хватать следует писать раздельно. Слитно с глаголом может писаться часть недо...

В значении "пользоваться возможностью"? Это корректно для разговорной речи.

Полагаем, что такой игры не существует. Автор выдумал ее, противопоставляя опасной игре в кошки-мышки, упоминавшейся в начале текста, чтобы подчеркнуть счастливый конец сказки.

Верно (о городе Саратове): ...никаких Саратовов.

Вы правы, если перед деепричастным оборотом стоит усилительная частица и, оборот не обособляется: Но этот принцип можно использовать и не проводя конкурса.

Использовать кавычки не нужно.

Корректно: лакомство из фруктов, варенных с сахаром с добавлением загустителя. В этом контексте слово варенный – причастие, к нему есть зависимые слова, поэтому писать его нужно с двумя н и произносить с е, а не с ё.

В разговорной речи такое возможно.

Слова восхитить и предвосхитить (а также похитить, хитрый, хищный) восходят к старославянскому глаголу хытити 'хватать'. Хитрый буквально «хватающий, быстро схватывающий», затем «умный, сообразительный, хитрый». У слова восхитить развитие значения шло следующим образом: «схватить» > «поднять в высоту» > «привести в восторг». Предвосхитить – опередить кого-либо, предугадать (т. е. «схватить раньше»).

Таким образом, почти у всех слов, восходящих к этому корню, ударение сохраняется на первом и: предвосхитить, похитить, хитрый, хищный. И только в глаголе восхитить ударение перешло на другой слог (хотя еще в XVIII веке было нормативно: восхитить) – возможно, под влиянием других глаголов на -ить, у которых ударение также перешло с корня на суффикс, ср.: разоружить > разоружить, умалить > умалить, защитить > защитить. Известный лингвист К. С. Горбачевич пишет, что «перемещению ударения с корня на суффикс способствовало, вероятно, и постепенное уменьшение роли "церковного выговора", ср. ... защитить (церковное) – защитить (гражданское); вариант защитить встречается еще у Пушкина».

Возникает вопрос, почему у глагола предвосхитить ударение не перешло на суффикс вслед за глаголом восхитить. Возможно, причина в том, что глагол предвосхитить всегда относился к «высокому стилю», к церковной, книжной лексике.

Здесь орфографически правильно: гостем (каким?) проводимым, хотя вряд ли такая фраза возможна в живой речи.