Мужская фамилия Луц склоняется, женская – нет. Отправить сообщение Егору Луцу – правильно, отправить сообщение Егору Луц – грамматическая ошибка.

Вопрос спорный. Говорить о правильности употребления здесь предлога сложно хотя бы потому, что само название ресурса оформлено с нарушением орфографических законов: по правилам русского правописания две прописные буквы подряд в начале слова не пишутся (исключение составляют только аббревиатуры). Лучше избегать сочетания предлога в и названия ресурса и добавлять родовое слово: в социальной сети «ВКонтакте», на сайте «ВКонтакте».

Запятая не ставится.

1. Верно: соцпакет (сложносокращенное слово) и соц. пакет (графическое сокращение, читается полностью "социальный пакет").

2. Корректно: т. / ф.

Оба варианта возможны. Соцпакет - аббревиатура (произносится "соцпакет"); соц. пакет - графическое сокращение (произносится полностью: "социальный пакет").