Сочетание земной шар пишется строчными.
Эта форма образована от основы прошедшего времени (ср.: увлек, увлекла).
Такого фразеологизма в русском литературном языке нет.
Если в тексте нет противопоставления, предпочтительно слитное написание неведущая рука.
Первое сочетание можно написать и в кавычках, и без: рукава «летучая мышь» и рукава летучая мышь. Выбор может быть обусловлен тем, знакома или нет предполагаемая читательская аудитория с различными фасонами рукавов, знакомо ли ей сочетание летучая мышь как термин. Второе сочетание лучше писать через дефис как определяемое слово и согласованное приложение: рукава-фонарики.
Здесь нельзя подобрать проверочное слово; надо запомнить, что в образованиях от глаголов платить и молиться происходит мена гласных и–е: плати-ть – плате-льщик, моли-ть-ся – моле-льный (дом). Это весьма редкое явление для русского отглагольного словообразования.
См. вопрос 297977.
Правильно: строчная буква.
