Нет, так не будет правильнее. Правильно так, как в словарях.
Война Алой и Белой розы – устоявшийся термин. Зачем его менять?
Это существительное женского рода. Правильное написание: альма-матер.
Мужская фамилия Рак склоняется как соотносительное нарицательное существительное.
Существительное женского рода от завсегдатай не образуется, но это слово вполне может быть использовано по отношению к лицу женского пола, например: Маша – завсегдатай ночных клубов.
Такое употребление корректно.
В обоих случаях обособляется определительный оборот, стоящий после определяемого слова.