Правильно раздельное написание: еще не проснувшийся ребенок.
Для того чтобы подчеркнуть, что слово здоровый относится к обоим существительным, следует использовать форму множественного числа. Верен первый вариант.
Такие образования разговорны.
Корректно: А может, ваш ребенок захотел...
Поскольку здесь не передается дословно чья-то речь, а передается в общем виде ее содержание, заключать вопрос в кавычки нет оснований: Родители задают вопрос: что делать, если ребенок не слушается?
Корректно: ребенок впервые сказал (слово) "мама".
Такой вывод из этой фразы сделать нельзя.
Корректно раздельное написание: глубоко недоношенный ребенок. Однако в специальной (медицинской) литературе, где это слово используется в качестве термина, распространено слитное (глубоконедоношенный ребенок) написание.
Нужна запятая перед что.
Запятая нужна: Ребенок будет учиться держать голову, лежа на животе.
