Правильно: Белое движение (в годы Гражданской войны в России и в последующие годы).
Правильно: количество товара ограниченно (=мало, краткое прилагательное), движение ограничено (краткое причастие).
В постановке запятых нет необходимости. Они могут быть поставлены только для смыслового выделения, попутного пояснения.
Написание зависит от контекста.
Оба варианта возможны.
Корректны оба варианта.
На сайте самого движения используется обозначение Первые (с прописной без кавычек). То же — на логотипе организации. При этом в уставе организации и в официальных документах пишут «Движение первых».
О принадлежности ребенка к движению можно написать нейтрально — стал участником «Движения первых». Можно так: присоединился к Первым. Эти названия совсем недавно появились в языке, поэтому будем наблюдать за их употреблением. Возможно, со временем какие-то формулировки и написания станут устойчивыми, пока же они только осваиваются языком.
См. также ответ на вопрос № 319215.
Правильно дефисное написание: народно-освободительное движение.
