Корректно: Ф. И. О. проходившего учебную практику в суде.
Предпочтительно поставить двоеточие.
Заявление пишется в свободной форме. Рекомендации по оформлению заявлений см. в рубрике "Письмовник" на нашем портале: Как писать заявление?
Корректно: самых достойных студентов мы рекомендуем для прохождения практики в общественном объединении.
Предложение неудачно. Желательно его переформулировать.
Правилен первый вариант.
Обычно сочетание с предлогом для обозначает тех лиц, какие могут занять вакантные места: вакансии для студентов, практикантов, претендентов, выпускников и т. п. Сочетания вакансия работника, сотрудника, учетчика, ученика сообщают о том, какое именно рабочее место свободно. Выражения, названные в вопросе, не ясны по своему значению.
Сочетание реальный кейс может быть оправдано тогда, когда необходимо подчеркнуть подлинность случая, в отличие от гипотетической ситуации или теоретического построения.
Форма мн. ч. в настоящее время употребляется, приведенный Вами пример отвечает нормам литературного языка.
