Да, верно.
Не совсем понятен вопрос, но если имеется в виду название комнаты, в которой находится ванна для купания или мытья, то правильно: ванная.
См. в рубрике «Актуальный вопрос».
Нет. Правильно писать заведующий кафедрой, заведующая детским садом, управляющий кооперативом и т. д.