Корректно: Затем Маяковские чтения, или по-просторечному «Маяки», появились во многих городах. Обратите внимание: с научной точки зрения название Маяки является не просторечием, а элементом разговорной речи. Слово по-просторечному можно заменить на слово по-простому или вводное сочетание проще говоря (его необходимо выделить запятыми).
Правильно: коррекция нарушения навыков чтения и письма.
В практике письма такое написание встречается, но правилами орфографии оно не предусмотрено.
Слитное написание корректно.