В Ваших примерах слова восток и запад нужно писать со строчной буквы. Заглавная буква в этих словах возможна при употреблении их в других значениях, см. Восток и Запад.
Верно: с Украины, с Дальнего Востока.
Восток в значении 'страны Азии' пишется с прописной буквы. Правильно: кухня Востока.
Можно и так сказать.
Кавычки все равно нужны, если речь по-прежнему о музее.
Обратитесь, пожалуйста, к книге: Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Словарь грамматических вариантов русского языка. – 3-е изд., стер. М., 2008.
Эти сочетания пишутся строчными буквами.