Обратитесь, пожалуйста, к книге: Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Словарь грамматических вариантов русского языка. – 3-е изд., стер. М., 2008.
Кавычки все равно нужны, если речь по-прежнему о музее.
Да, конечно.
Оба варианта возможны.
Название при словах городской округ обычно не склоняется. Верно: в городском округе Подольск, в г. о. Подольск.
Корректно: в городском округе Люберцы.