Рекомендуем заменить ввиду того что на более нейтральное так как. Корректно: Советуем на всякий случай взять с собой что-то кроме футболки, так как, пока поднимаешься наверх, очень влажно и жарко, а при спуске в пещеру резко становится холодно.
Указанная запятая ставится.
В таких случаях наречие пишется с двумя дефисами: по-нью-йоркски, по-нью-орлеански...