Запятая не нужна.
Нужен знак конца предложения.
Правилен второй вариант (см., например, параграф 67.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). Обратите внимание, что в прозаических пьесах имя действующего лица принято отделять от реплики точкой: Иннокентий. Да, не менял ни разу паспорт с 18 лет. (Закрывает лицо, оставляя глаза.)
Частицы о, ах, а и другие, стоящие перед обращениями, от них не отделяются. Верно: Коть, а Коть?
Это предложный падеж (не винительный).
Предпочтительно: искать счастья.
Да, частица так вот, выражающая переход от одной мысли к другой, от сказанного к тому, что из этого следует, обычно обособляется. Запятая в Вашем предложении поставлена правильно.
Вы правы: слово визуально здесь лишнее
Такое оформление возможно, хотя лучше обойтись без первого слова цитаты: По словам одного из героев А. С. Пушкина, «жалок тот, в ком совесть нечиста».
Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.
Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.
