Запятые не нужны: Он по старой памяти покровительствует данной организации.
Можно так: Жаль, что в памяти нет кнопки "забыть".
Нужна запятая перед посвященная.
Верно: двигательная память.
Вы совершенно правы. Верно: памяти воинов-интернационалистов. Слово памяти управляет в таких конструкциях родительным падежом. Подобные конструкции (памяти кого-чего) зафиксированы не только в электронных, но и в печатных словарях (см., напр.: Лазуткина Е. М. Словарь грамматической сочетаемости слов русского языка. М., 2012).
Очевидно, Ваших оппонентов сбивает с толку управление памятник (кому?) – воинам-интернационалистам. Но это совсем другая грамматическая конструкция.
Прилдаточные являются однородными. Корректная пунктуация: Автор считает, что память дает людям возможность перенимать опыт прошлых поколений, а также что «без памяти нет совести».
Запятая ставится, если на первую часть составного союза для того чтобы падает логическое ударение. Если союз интонационно не распадается на две части, запятая не нужна.
Запятая перед чтобы нужна. Однако смысл предложения неясен. Возможно, его следует перестроить.