Правильно: промок под дождем.
Запятая нужна: в данном случае слово предположительно имеет значение 'вероятно, возможно, скорее всего', а значит, оно вводное.
Такое употребление корректно.
Верны варианты: ознакомить под подпись, ознакомить под расписку. См.: Подпись, роспись и виза.