Правильно: с 2 июня (с цифрой), со второго июня (при записи числительного буквами).
Прилагательное дроблёный пишется с одной буквой н, причастие дроблённый – с двумя. Опознать причастие помогают зависимые слова. Ср.: дроблёный камень – дроблённый в дробильной машине камень.
Как название проекта - в кавычках: «Яндекс.Метрика».
Оба слова восходят к глаголу проводить.
Да, дефис нужен.
Корректно: здание Рейхстага (=Рейхстаг).
Такое сочетание корректно, но это не единственный возможный вариант (окончить школу - тоже верно).
Правильно строчными: лунный календарь, восточный гороскоп.
Орфографически верно: городская дума. Однако в официальных текстах нередко можно встретить такое написание: Московская городская Дума. Оно принято в официальных документах, хотя противоречит орфографическим нормам.
Корректно: Арктический регион.
