Правильно слитное написание.

Правильно: под подпись или под расписку.

Это словарное слово.

Написание зависит от смысла. Баранина, жаренная по-китайски – здесь по-китайски относится к причастию жаренная (баранину жарили по-китайски, ср. возможность перестановки слов: жаренная по-китайски баранина). Баранина жареная по-китайски – здесь по-китайски относится ко всему сочетанию (ср. возможность перестановки слов: жареная баранина по-китайски). Иными словами: в первом случае имеется однозначное указание, что по-китайски относится к процессу жарки. Во втором случае по-китайски может относиться к любому этапу приготовления и сервировки блюда (например, к жареной баранине добавили такую приправу, какую обычно добавляют в Китае).

Да, это допустимымый вариант, однако он считается устаревающим. 

Возможно так. Тут казаки вывели парнишек из круга, крича: «До вас нам и дела нет!», – и повели виновника на пороховой двор.

В корне неправильно сочетание имеет место быть, встречающееся в Вашем вопросе. Правильно: имеет место. А фраза Договор между ООО «ЭЭ» и ОАО «ПП» подписан вполне корректна.

Написание подчиняется правилу о чередующихся гласных: в корнях бер-бир, дер-дир, мер-мир, блест-блист и др. пишется И, если дальше следует суффикс -а-, при его отсутствии пишется Е: соберусь – собираюсь, блестеть – блистать, выдеру – выдирать и т. п.

Проверяемыми или непроверяемыми чаще называют гласные буквы, которыми обозначаются редуцированные гласные звуки, то есть звуки, меняющие свое качество в безударной позиции и поэтому вызывающие затруднения у пишущих. Букву э проверять нужно (например, этно́граф — э́тнос, первую гласную в слове экономист можно проверить словами с побочным ударением экосистема, экоконтроль). 

Буквы у, ю, ы обычно в проверке не нуждаются: звук [у] обычно не меняет качество (изменяется только долгота), звук [ы] меняет, но вызывает затруднения редко.