Правильно: искать глазами.
Если, по мнению автора текста, запятые необходимы для выражения нужного смысла, они могут быть поставлены.
Правильно слитное написание. Наречие втайне (то же, что «тайно») пишется слитно. Раздельно пишется сочетание предлога с существительным в тайне, ср.: сохранить план в тайне.
Это сложное предложение, поэтому необходима запятая перед союзом и. Что касается оборота с предлогом исходя из, то в данном случае он не соотносится с действующим лицом (подлежащее этой части сложного предложения — существительное решение) и не обособляется: Посмотрите на ситуацию его глазами, и исходя из этого найдётся решение.
Выражение выпучить глаза ('широко раскрыть глаза от удивления, неожиданности, страха и т. д.') представлено в словарях с пометой разговорное. Выражение имеет отрицательный оттенок и допустимо, скорее всего, в ситуации, предполагающей эмоционально повышенное, напряженное состояние участников беседы.
