Правильно: на Кипре.
Верен первый вариант.
Оба варианта верны.
Верно: плохо себя чувствую.
Сочетание сторонник критического рационализма является приложением к подлежащему я. Приложения при личном местоимении всегда выделяются запятыми. В данном случае есть и дополнительный фактор обособления: приложение имеет дополнительное значение причинности ('поскольку я сторонник критического рационализма, я считаю любые постулаты потенциально ошибочными').
В непринужденной разговорной речи такое употребление возможно.
В таком изолированно взятом предложении тире не требуется. Возможно, в определенном контексте будут уместны иные пунктуационные решения.
Да, в этом предложении две грамматические основы (я пойду и я найду), это сложносочиненное предложение, запятая нужна.
Лучше так: Я телеведущая. Чтобы отлично выглядеть, я выбираю фитнес.
