Верно: лежащего на дороге.
Корректно: на двоих детей.
Корректно: Убедитесь, что поверхность, на которой размещена подставка, также устойчива. Размещена (на чем?) на поверхности, (какой?) которой.
Правильно: надеть шкив на ось.
Увы, в нормативных источниках фамилия художника В. И. Отмара не зафиксирована. Можем предположить, что ударение в ней падает на первый слог: О́тмар. В словаре собственных имен с таким ударением фиксируется имя О́тмар, имеющее древнегерманское происхождение.
Верно: На склоне вулкана Плоский Толбачик.
Лучше написать: на тысячу четыреста человек.
Об озере верно: поехать на Ламу.
Корректное название должностей: заведующий отделом обслуживания, заведующий читальным залом. Соответственно в контексте: принята на должность заведующего отделом обслуживания; принята на должность заведующего читальным залом.
Корректно: На государственном, региональном и местном уровне.
