Знаки препинания расставлены верно. Только Вы пропустили союз и (...и то, что...).

Оба варианта возможны, хотя предпочтителен здесь винительный падеж (не поменяла свои зеленые иголки), т. к. есть местоимение свои, указывающее на определенность объекта. Подробнее см. в «Письмовнике».

Предложение не вполне корректно. Возможный вариант: При необходимости Исполнитель по согласованию с Заказчиком вправе привлекать к выполнению своих обязательств по настоящему Договору третьи Стороны, неся полную ответственность как за качество оказываемых ими Услуг, так и за конфиденциальность передаваемой третьим Сторонам информации.

Можно написать: бьюти-задач. Или, например, заменить это слово так: ...для решения моих задач по сохранению красоты...

Верно: спалА, бралА. Если возникают сомнения по поводу ударения, следует обращаться к словарям (см. окно «Искать на Грамоте»).

В перечисленных Вами вопросах речь идет о словах, еще не кодифицированных в нормативных словарях, поэтому дефисное написание отмечено там как одно из возможных. Причины такой возможности описаны в ответе на вопрос 316375. 

Словарная фиксация: в Клину (см. «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко). При этом вариант в Клине отнюдь не нов: его можно встретить у В. И. Даля (1839 г.) и даже в документах М. И. Кутузова (1812 г.): Предписание М. И. Кутузова вновь формируемому в Клине 10-му пехотному полку № 76. 29 августа 1812 года. С получения сего без ночлегов, но только с варением каш и отдыхами, предписываю оному полку, немедленно выступя, прибыть в Москву. Справедливости ради следует заметить, что других примеров такого употребления в Национальном корпусе русского языка не зафиксировано. 

Возможно, на распространенность варианта в Клине влияет гиперкоррекция (когда стремление говорить правильно приводит к появлению ошибочных форм): вариант в Клину может казаться говорящему менее правильным (как разговорное в отпуску при предпочтительном в отпуске). Тем не менее именно употребление в Клину соответствует строгой литературной норме.