Здесь верно: южноуральских.
Корректно: Треугольник является прямоугольным, если и только если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов; Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.
Нормативно: десять сеансов массажа. В разговорной речи возможно: десять массажей.
Предпочтительно: Не теряет своей популярности. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Слово решение относится к отвлеченным существительным, поэтому предпочтительна форма родительного падежа.
Верно: в две тысячи тринадцатом году.
Да, правильно.
В конструкциях с составными числительными, оканчивающимися на два, три, четыре, винительный падеж сохраняет форму именительного независимо от категории одушевленности. Литературная норма: прослушать двадцать два певца. Вариант прослушать двадцать двух певцов – разговорный.
Сегодня предпочтительно: между двумя частями.
Слова и правда выделяются как вводные при употреблении в начале предложения (или части сложного предложения): И правда, пирог был вкусным. При употреблении не в начале предложения (части сложного предложения) слова и правда не являются вводными и не обособляются: Пирог и правда был вкусным.
