Падеж словоформы врача в этом контексте установить невозможно: вопрос кого? не различает винительный и родительный падежи. Глагол бояться действительно может присоединять в качестве зависимого слова одушевленное существительное в винительном падеже (боюсь маму). Правда, следует заметить, что, согласно справочнику Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке», такой вариант (бояться кого) имеет разговорную окраску. Нейтральная форма зависимого существительного при глаголе бояться — форма родительного падежа (боюсь мамы).
Кавычки нужны: цвет "красный металлик".
Обычно названия, написанные латиницей, в русских текстах в кавычки не заключаются. Но в каких-то случаях кавычки будут уместны.
Корректно: вверить жизнь кому? врачу.
Это сочетание может использоваться без кавычек.
Постановка кавычек не требуется.
