Существуют два прилагательных: будний и будничный. Будний относится к непраздничным дням. А будничный — к повседневной обыденности.  

Такого правила нет, но слов, которые содержали бы приставку пре- и суффиксы -чив- или -лив-, в русском литературном языке действительно не существует.

Знаки, поставленные по «школьным» правилам пунктуации, могут влиять на смысл предложения, сравним, например, пары: Я сделал это, так как мне приказали. — Я сделал это так, как мне приказали; Статья может быть напечатана. — Статья, может быть, напечатана.

Первоначальная основа: приоритет. Усекается ет, остается приорит + глагольный морф изирова + ть = приоритизировать. От этого глагола образовано существительное приоритизация.

Запятая нужна. Обратите внимание, что читатель может не понять, что эта фраза имеет именно этот смысл. Мы рекомендуем перестроить предложение, если есть такая возможность.

Да, сейчас слово памперс употребляется в обиходной речи как нарицательное существительное в значении 'гигиеническая многослойная прокладка в виде трусов для маленьких детей или для больных с нарушенной мочеиспускательной функцией'. Памперсами в живой разговорной речи (но не в ситуации официального употребления) можно называть любые подгузники, не обязательно марки Pampers (так же как ксероксом называют любой копировальный аппарат, не обязательно произведенный фирмой Xerox).

Языковых ошибок нет. Указание на местоположение вызывает вопросы, но с ними лучше обратиться к историкам и географам. Сейчас Черкесск — столица Карачаево-Черкесской Республики, но раньше этот город входил в Карачаево-Черкесский автономный округ Ставропольского края. Саров расположен в административных границах Нижегородской области.

Предпочтительно слитное написание, но можно писать и раздельно, если требуется интонационно подчеркнуть отрицание.

Вы правы: согласно словарям, у прилагательного корневой нет значения 'основной, главный'. В этом случае следует использовать прилагательное коренной: коренная проблема.