В этой формулировке запятая нужна. Но мы рекомендуем перестроить предложение. Возможный вариант: Департамент рассмотрел обращение и сообщает следующее.

Не вполне понятно, к чему относятся слова открытый конкурс, поэтому дать ответ затруднительно.

Запятая поставлена правильно. Определительный оборот возложенная на органы ПФР выделяется запятыми с обеих сторон.

В этом предложении союз как имеет значение «в качестве», а потому оборот с этим союзом не обособляется: ...результаты, полученные автором как одним из исполнителей государственной программы при выполнении научных работ...

Запятая в предложении Этот натюрморт находится в Государственной Третьяковской галерее в Москве не нужна. Обстоятельство места в Москве не является уточняющим, так как обычно уточняющий член предложения ограничивает объём понятия, выраженного уточняемым членом предложения: Внизу, под железной сетью воздушной дороги, в пыли и грязи мостовых, безмолвно возятся дети (М. Г.) — уточняющие члены расположены по нисходящей градации, т. е. последующий уточняет значение предыдущего. 

Официальное название ресурса пишется с прописной буквы (первое слово): о регистрации на Едином портале государственных и муниципальных услуг. Кавычки не требуются.

Да, сочетание в свою очередь не выделяется запятыми, если оно употреблено в значении, близком к прямому, или в значении 'в ответ', 'со своей стороны'. Запятые ставятся, если сочетание в свою очередь используется в переносном смысле и уже не связывается с представлением об очередности действий сторон, а просто указывает на последовательность изложения мыслей.

Обстоятельственные обороты с производными предлогами типа в целях обособляются в некоторых случаях, например тогда, когда требуется обозначить границы оборота, чтобы предложение не выглядело двусмысленным. Так, в приведенном примере, если оборот с предлогом в целях относится к сказуемому используется, нужно поставить запятые, чтобы исключить связь оборота с отглагольным существительным обращение.