Верно: Новый, 2014 год начался... и Будем формировать бюджет следующего, 2015 года...
Правильно: Говорят, под Новый год, что ни пожелается, всё всегда произойдёт, всё всегда сбывается!
В Вашем предложении буквенные наращения при цифрах писать не нужно. Они необходимы, если при цифрах отсутствуют название месяца и слово год. При произнесении корректны те окончания, которые отражены в Вашем первом варианте.
Вы написали правильно. Подробно см. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
Правильно: на таком-то году (жизни, пребывания где-либо и т. п.): на четвертом году обучения (см.: Еськова Н. А. Краткий словарь трудностей русского языка. – 6-е изд., испр. – М., 2005).
Название игры го пишется с маленькой буквы.
Действительно, здесь возможно двоякое толкование, однозначно ответить нельзя.
Название праздника - Новый год. Но: Наступающий новый, 2009 год дарит надежды на преодоление финансового кризиса.