Верно дефисное написание: интернет-магазин.
Нет, никакие знаки препинания больше не нужны.
Допускается написание с прописной и со строчной буквы (как собственное наименование глобальной сети и как средство телекоммуникации соответственно).
См. ответ на вопрос № 287490.
Слово Сеть, употребленное в этом значении, пишется с прописной буквы.
Нет, запятая не нужна.
При самостоятельном употреблении этого слова сейчас возможно написание с прописной и строчной: доступ к Интернету и доступ к интернету. При употреблении в качестве первой части сложного слова правильно только со строчной: интернет-магазин.
Обособление обстоятельства специально для юных абонентов факультативно (см. параграф 74 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). В данном случае акцентирующее обособление уместно.
Написание слова Интернет/интернет закреплено в академическом орфографическом словаре: https://orfo.ruslang.ru/search/word
