Дело в том, что в число "названий учебных заведений" входят разные типы наименований. Некоторые из них требуется писать (вернее, начинать) с прописной буквы - например, полные и краткие официальные названия высших учебных заведений: Московский государственный университет. В названиях общеобразовательных школ с прописной буквы пишутся только заключаемые в кавычки элементы условного наименования: средняя школа "Лига школ", школа "Интеллектуал" и т. д.
Пунктуация зависит от контекста. Подробнее см. в «Справочнике по пунктуации».
Где Вы предлагаете поставить запятую?
Запятая не нужна: союз как имеет значение 'в качестве'.
В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова (М., 2002) в этом слове выделен корень -вяз-. Словообразовательная цепочка: вязать – связать – связь – связист. Вероятно, учительница считает слово связь непроизводным в современном русском языке. Эту точку зрения можно понять: на современном этапе развития языка вывести значение слов связь, связист из корня -вяз- затруднительно. Но всё-таки представляется, что смысловые связи между словами вязать – связать – связь разрушены еще не полностью и выделение корня -вяз- пока еще оправданно.
Фамилия Рига склоняется (и мужская, и женская).
Пунктуация верна (если Ивана просят не уйти из другой школы, а уйти из-за того, что он из другой школы).
Это сложное предложение, тире отделяет присоединительную часть. В присоединительную часть тоже можно вставить частицу это. О присоединительных конструкциях и предложениях подробно написано в «Справочнике по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя.
Тире необходимо, так как это неполное (эллиптическое предложение), в котором смысловой акцент сделан на последней части (для дураков).
Предпочтительнее первый вариант (учится), так как здесь скорее говорится о совместном, а не о раздельном действии.
