Правильно: обменявшись ими.
Да, в этом случае уместно применить аналогию.
Стилистических ограничений по использованию этой частицы в официально-деловой речи нет.
Название в кавычках в этом предложении не склоняется, так как используется с родовым словом.
Правильно: лезгин и лезгинка.
Частица не передает отрицание, верно: не бойся быть не как все.
Запятая ставится перед словами "и то".
Вы написали правильно. Частица ни употребляется в предложениях с отрицательным сказуемым, т. е. сказуемым, включающим частицу не или выраженным словами нельзя, нет. В таких конструкциях ни выполняет свою основную функцию – усиливает отрицание.
Да, это название можно отнести к исключениям. В официальных составных названиях органов власти, учреждений, организаций, научных, учебных и зрелищных заведений, обществ, политических партий и т.п. с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные, а также первое слово включаемых в них названий других учреждений и организаций.
