Первая часть сложных слов полу... практически всегда пишется слитно с последующим словом.
Оба варианта корректны.
Употребление глагола пустить/пускать в таком значении не соответствует современным языковым нормам.
Оба подхода имеют право на существование; так, оба встречаются в словарях русского языка. Главное - последовательная реализация.
Может быть, "генеральной директрисы"? :)
Если говорить о названии должности безотносительно к полу лица, эту должность занимающего, то верно: помощник заместителя генерального директора.
Если нужно подчеркнуть, что помощник - женского пола, то корректно: помощница заместителя генерального директора.
А вот пол заместителя и директора в данном случае уточнять не обязательно.
Правильно: пол чайной ложки. Пол... пишется раздельно, если относится к сочетанию слов (ср.: пол-Москвы, но: пол Московской области).
