Верно: С Днём российского флага.
Верно: Роджер С. Уильям — старший.
Корректно: договор заключен с филиалом «Автобусный парк № 5» государственного предприятия «Гомельтранс».
Верно написание со строчной буквы: чернобыльская катастрофа, чернобыльская авария.
Запятая стоит верно. Определительный оборот выделяется запятыми, если он отделен от определяемого слова другими членами предложения.
В названии Древняя Русь оба слова пишутся с прописной буквы. А вот прилагательное древнерусский пишется со строчной буквы. Правильно: памятники Древней Руси, но: древнерусские памятники, древнерусская литература.
Правильно: московское время, Игорев поход.
Сочетание лихие девяностые воспринимается как образный описательный оборот (не как название) и устойчиво пишется со строчной буквы.