Правильно: чемпионат мира, Кубок мира.
В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.
Кавычки не нужны.
Факультативно.
Подробная статья по этому поводу есть в книге «Грамматическая правильность русской речи. Стилистический словарь вариантов» (авторы: Л. К. Граудина, В. А. Ицкович, Л. П. Катлинская).
Нет, в этом словосочетании прописные буквы не требуются.
Такой уловки нет, да и нужно ли? Название царства мертвых Аид совпадает с личным именем царя мертвых, соответственно и написание одинаковое.
Слово мир пишется со строчной буквы. С прописной буквы пишется имя собственное Мир в составе топонимов (проспект Мира, улица Мира); написание Мир возможно также в том случае, если этому слову по воле автора приписывается особый высокий смысл.
Правильно: история Древнего мира и Средних веков.
