В данном случае можно повторить предлог в, можно не повторять. Ошибки ни в том, ни в другом случае не будет.
Кавычки нужны: сотрудники "Почты России"...
Обе формы сказуемого возможны. Выбор за Вами.
Запятые не нужны.
Верно: один из первых в России частных университетов; Частный университет, один из первых в России...
Недопустимы слитные написания с одной прописной буквой в середине слова. Поэтому после начальной части слова, по основным правилам пишущейся слитно, – после приставки, первой части сложного или сложносокращенного слова – следует писать дефис, если вторая часть представляет собой собственное имя и потому пишется с прописной буквы. Орфографически верно: «Дем-Россия».
Пунктуация корректна.
Дефис ставится для выделения приложения: трое друзей-метростроевцев.
