Правильно: в городе Шахты, в городе Зверево. Географические названия в сочетании с родовым словом не склоняются, если внешняя форма названия соответствует форме мн. числа. Топонимы славянского происхождения, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, не склоняются в сочетании с родовым словом.
Оба варианта верны.
Вы правильно расставили знаки препинания. В подобных случаях, когда слово например стоит в начале пояснительной конструкции, оно не отделяется от этой конструкции знаком препинания. См. параграф 93 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Правильно: в Саратове, в городе Саратове.
Правильно: в городе Элисте.
Лучше: в Димитровграде. В канцелярской речи возможны предложенные Вами варианты.
Запятые не нужны: Мы вроде как в городе.
Правильно: в Москве, в городе Москве.
Лучше всего: Я проживаю в Тамбове.